问题提出

给定一个圆，能否只用尺规，作出这个圆的内接正 $n$ 边形（$n \ge 3$) ?

尺规作图的意思是：给你一把没有刻度的尺子，一个圆规，一个预先给定的单位长度。其他任何长度、角度，都只能由它们作出。

🤔 是否任意给定正整数 $n \ge 3$，都能通过尺规作出正 $n$ 边形 ?

如果不是，当 $n$ 满足哪些条件时，就一定可以通过尺规作出？步骤是什么？

今天我们知道，100以内可以被尺规作出的正 $n$ 边形共有 24 种，它们的边数 $n$ 分别是：
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96

停滞了超过 2000 年的几何难题

在古希腊时期（约公元前300年），数学家欧几里得在《几何原本》中就已经给出了正三角形（$n=3$）、正方形（$n=4$）、正五边形（$n=5$）以及正十五边形（$n=15$）的尺规作图法。通过不断平分角，他们也能作出正六边形、正八边形、正十边形等。然而，在这之后的 2000 多年里，尺规作图正多边形的研究彻底陷入了停滞。数学家们尝试了正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形…… 全部以失败告终。当时的人们既画不出这些多边形，也无法证明它们“画不出”。几乎所有人都默认：除了古希腊人发现的那些，不可能再有其他边数为素数的正多边形可以被尺规作出了。

19岁高斯的横空出世

1796年，年仅 19 岁的德国学生卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 突然打破了这个长达两千年的僵局。他不但没有顺着前人的死胡同去死磕正七边形或正十一边形，反而直接跳到了 $n=17$，并且用极其严密的数学推理证明了：正十七边形是可以用尺规作出的（这个证明本身也给出了作图步骤）。同时高斯也给出了通用的可以被尺规作图的 $n$ 的公式的猜想，并证明了充分性（即证明了满足这个公式的正 $n$ 边形一定可以被尺规作出），同时预言了必要性（即预言所有可以被尺规作图的正 $n$ 边形一定满足这个公式）。这在当时的数学界引发了巨大的轰动。一个两千年来毫无进展的古老几何问题，居然被一个十几岁的年轻人解决，而且得出了一个完全出人意料的答案。

高斯个人的命运转折点

这个发现对高斯本人也有着极其特殊的意义。在发现正十七边形作图法之前，19岁的高斯正在犹豫大学到底该主修语言学（他对古希腊语和拉丁语极有天赋）还是数学。正是这个惊世骇俗的发现，让他下定决心将一生奉献给数学，最终成为了近代数学的奠基人，被后人誉为“数学王子”。

高斯本人对这个成就感到无比骄傲。据说他曾留下遗嘱，希望死后能在自己的墓碑上刻一个正十七边形。但是后来被石匠拒绝了（因为石匠认为正十七边形刻在石头上用肉眼看过去，跟一个普通的圆圈几乎没有任何区别）。

1880 年，不伦瑞克市为这位伟大的老乡竖立了一座高大的青铜纪念碑（Gauß-Denkmal）。为了向他最骄傲的几何成就致敬，同时又吸取了当年石匠的教训，雕塑家做了一个极其巧妙的变通，在这座纪念碑的底座侧面，雕刻了一颗正十七角星：

图中是布伦瑞克高斯纪念碑上的 17 角星意象。它常被用来纪念高斯对正十七边形可作性的发现。